小林 近智（こばやし ちかとも）：MPTの理論と実践の食い違い
現代ポートフォリオ理論MPT（Modern Portfolio Theory）は、金融投資の分野で最も影響力がある基礎理論の一つであり、経済学者Harry Markowitz（ハリー·マーコウィッツ）が提唱し、1952年の《金融雑誌》（Journal of Finance）に《ポートフォリオセレクション》（Portfolio Selection）というタイトルで論文を発表しました。マコーヴィッツは現代ポートフォリオ理論の研究で1990年にノーベル経済学賞を受賞しました。
現代のポートフォリオ理論（MPT）は、特定の株式の期待リスクとリターンに注目するだけでは不十分であり、複数の株式に分散投資することでポートフォリオのリスクを大幅に低減できると主張しています。 MPTは、投資家がポートフォリオ内のさまざまな資産の割合を定量的に変化させ、与えられたリスクレベルで最大限の期待収益を得るのに役立ちます。

現代ポートフォリオ理論の重要な前提
MPT の中心的な考え方は、リスクと報酬は直接関係しているということです。これは、より高い期待リターンを達成するには、投資家がより高いリスクを負わなければならないことを意味します。 MPT のもう 1 つの主な考え方は、投資を多様化することでポートフォリオの全体的なリスクを軽減できるということです。 「リスク」、「リターン」、「分散」の関係について上記の結論を導き出すには、次の前提が必要です。
・投資家は最大の利益を追求しようとしている
·資産収益は正規分布する
・投資家は合理的であり、不必要なリスクを回避する。
·市場はオープン、透明性、効率的であり、すべての投資家が同じ市場情報にアクセスできます。
・投資家は期待収益について同じ見解を共有している
・税金や取引コストは考慮していません
・一人の投資家の資本規模は市場価格に影響を与えるほどではない
·リスクのない資本コスト率で無制限に資金を借りることができます
多くの仮定が現実と一致しないにもかかわらず、MPTは依然として非常に実用的です。主に、投資家が最適なマルチポートフォリオを構築できるように、定量化可能な数学的アプローチを提供することによって、リスクレベルで最大の利益を得ることができます。また、期待される利益レベルで最小のリスクに抑えることが出来ます。
リスクとリターン
あらゆる投資には、リスクとリターンという2 つの側面があります。投資家は、可能な限り低いリスクで、可能な限り高いリターンを追求します。一般正規分布は、リターンの平均値または期待値とリスクの標準偏差を通じて、これら 2 つの側面を定量的に評価します。
平均値または期待値
1 日あたりの株価の平均、または、予想される変化は 1.5% である可能性があり、これは平均して 1.5% 上昇することを意味します。収益の平均値、または、期待値はより大きなデータ サンプル (たとえば、株価の過去の毎日の価格変化など) を平均することによって表すことができます。平均値、または、期待値が高いほど、リターンは高くなります。
リスク標準偏差
標準偏差は、平均値または期待値からの偏差を表します。標準偏差が高いほど、投資のリスクと不確実性が大きいということです。
平均値と標準偏差の正規分布グラフにより、定義した範囲内のリターンとリスクを明確にすることができます。
MPTも前述の「正規分布」の概念に基づいています。この理論は、投資の多様化を導くための具体的な数式を提供します。
分散投資は、相関性のない株式、業界、資産クラスに投資することで「かごの中の卵」のリスクを排除するリスク管理の一形態です。理想的には、ポートフォリオ内の 1つの資産のプラスのパフォーマンスが、他の資産のマイナスのパフォーマンスを相殺します。
複数投資ポートフォリオの平均リターンを評価するには、ポートフォリオ内のさまざまな資産の平均リターンを異なる重み付けに従って計算する必要があります。投資ポートフォリオのトータルリターン Rp は次のように計算されます。
このうち、ωi は資産ポートフォリオにおけるタイプ i 資産のウェイト割合を表し、Ri はタイプ i 資産の平均リターンを表します。
正規分布に基づいて、投資ポートフォリオ全体のリスク、または、標準偏差 (Std-dev) p は次のように計算されます。
ここで、cor-cof は資産 i と j の期待収益間の相関係数、sqrt は平方根です。数学的に複雑に見えるかもしれませんが、上記のリスク標準偏差の計算式には、単一の資産の標準偏差だけでなく、さまざまな種類の資産間の相関関係も含まれています。
現代ポートフォリオ理論の応用例
A+B ポートフォリオの期待収益を最大化し、リスクを軽減するには、株式 A と株式 B にそれぞれどのくらいの資本を割り当てるべきかを評価してみましょう。
たとえば、次のような値が存在します。
Ra = 0.175
Rb = 0.055
(標準偏差)a = 0.258
(標準偏差)b = 0.115
(標準偏差)ab = -0.004875
(Cor-cof)ab = -0.164
株式 A と B の 50% シェアから開始すると、ポートフォリオのトータル リターン Rp は 0.115、ポートフォリオのトータル リスクまたは標準偏差 (Std-dev) p は 0.1323 になります。上記の単純な比較から、A+B 資産ポートフォリオのリターンとリスクが各資産の価値の間にあることがわかります。ただし、目標は、ポートフォリオのリターンを個別資産の平均リターンよりも高くし、リスクを低減して個別資産のリスクの標準偏差を下回るようにすることです。
ここで、資本 1.5 を株 A に、資本 -0.5 を株 B に割り当てます 負の資本配分とは、資産 B の空売りから得た収益を使用して、プラスの配分で資本を購入することを意味します。つまり、資本の 0.5 倍を使用して株 B を空売りし、株Aを買うお金。株Aの資本金は1.5倍。
上記の値を式に代入すると、新しい Rp は 0.1604、(Std-dev)p は 0.4005 となります。
同様に、株式 A と B に対して異なる配分ウェイトを使用し続けると、Rp と (Std-dev)p の異なる組み合わせが得られます。期待リターン (Rp) に基づいて、最も許容可能なリスク レベル (std-dev) p を選択できます。あるいは、望ましいレベルのリスクに対して、最適なポートフォリオのリターンを選択することもできます。
資本資産価格モデル (CAPM) と限定フロンティア理論も正規分布の概念に基づいており、現代ポートフォリオ理論 (MPT) の拡張または進化です。
MPTの制限
完璧な数学モデルはなく、どのモデルにも欠点や制限があります。
まず、株価のリターンが正規分布に従うかどうかについては多くの疑問があります。株価リターンが正規分布に従わないことを証明する十分な経験がある。したがって、この仮定に基づくモデルでは、結果に大きなばらつきが生じる可能性があります。
第二に、MPT のさまざまな種類の資産間の相関係数と分散は一般に固定されています (過去のデータに基づいて評価されます) が、将来の期待値は変化します。例: 2001 年から 2004 年にかけて、英国市場では債券市場と株式市場が完全な相関関係を示しました (両方の資産の収益率は同時に低下しました)。しかし、2001 年までの長い歴史的期間では、状況はまったく逆でした。
最後に、投資家の行動は数学的モデルでは考慮されていません。部分的な資本配分比率や資産空売りの可能性を仮定しても、税金や取引コストは無視されます。
要約
MPT から得られる教訓は次のとおりです。市場で勝つのは難しく、市場で勝つのは平均以上のリスクを取る人です。これはまた、市場が下落すると、リスクをとる人々が、それに応じてリスクを負うことを示唆しています。